Как известно, ряды Фибоначчи имеют следующий вид:

1) ряд, сходящийся к пределу 0, 618...; 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55... ;

2) ряд, сходящийся к пределу 1, 618... : 1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13,34/21, 55/34...

Ряды Фибоначчи, стремящиеся в пределе к отношению «золотого сечения», описывают гармонические соотношения. Первые члены из рядов Фибоначчи дают «основные» гармонические соотношения (поскольку гармониками высокого порядка, начиная с 7-й, практически можно пренебречь). Таким образом, любую из значимых гармоник (принадлежащую описанным выше гармоническим рядам) можно представить как Fi-2n, где Fi — один из первых членов (до 5-го включительно) из рядов Фибоначчи, или отношение нескольких из первых членов, an — натуральное число (положительное или отрицательное).

Как показал Ю. Соколов, разработавший общую модель цикла, экстремумы волны соответствуют значениям «золотого сечения» — 1, 618... (макс.) и 0, 618... (мин.). «Золотое сечение» — это такое соотношение двух сил, когда их отношение друг к другу равно отношению их суммы к одной из этих сил... На графике эти точки соответствуют максимуму и минимум» (см. стр. 125, Ю. Соколов «Природа золотого сечения» ). Цикл представляет собой результат взаимодействия двух противоположно направленных сил А и В; пока существует данный объект или система объектов — носитель цикла, сумма этих двух сил всегда должна оставаться постоянной. Соотношение сил меняется так, что в результате колебаний то одна, то другая сила достигает своего предела. Этот предел в рамках данной системы представляет собой ограниченную и постоянную величину. Пусть в некоторой точке А = min, тогда В = max; на протяжении времени Т/2 сила А возрастает, В убывает, пока ситуация не изменится на обратную (А = max, В = min); за следующий полупериод система вернется в исходное состояние. Ни одна из противоположных сил не может достигнуть 0 или устремиться в бесконечность, в противном случае система разрушается. Именно из условия сохранения системы и получены соотношения золотого сечения для экстремумов волны. Фактически числа золотого сечения, ряды Фибоначчи и другие математические модели этого круга описывают «волновые» соотношения.

Основываясь на том факте, что при отношении длин волн 1/2 (или частот 2:1), т.е. при шаге на одну октаву, акустические волны воспринимаются слухом не только как «гармонические», но и как «подобные», М. Марутаев ввёл понятие «качественного равенства»: при умножении на 2П число А (т.е. фактически волна с длиной А) «не теряет» своего качества. Минимальным интервалом качественного равенства является октава (1/ 2 или 2). В сущности, «октавное подобие» (качественно равное по Марутаеву) выражает принцип дихотомии — один из основных в природе (деление клеток).

Опираясь на понятие «качественного равенства», Марутаев перешел к понятию «классической симметрии» (связывающей арифметическую и геометрическую симметрии, основанные соответственно на принципах аддитивном п*х и мультипликативном х"). Сущность арифметической симметрии при п=2 выражается как х+х—2*х, геометрической симметрии х*х=х2. Тогда связь обоих принципов можно представить как х"= п*х, при п=2 х—2. Поскольку золотое сечение также выражает связь принципов п х х и х2=х2+1, то качественная симметрия по определению связана с принципом золотого сечения. Если мы рассмотрим порцию симметрии в динамике, то получим симметрию как размноженное качество. Коэффициентами этого множества будут числа 1/2, 1/4, 1/8..., т.е. целые числа степени 2, так как только этими числами целое можно разделить строго симметрично.

Центрами качественной симметрии являются целые степени корня из 2 (октавы в случае чётных степеней и полуоктавы в случае нечётных); расстояния между степенями корня из 2 Марутаев назвал диапазонами (так, в обычном звукоряде, начиная от основного тона f0 помещаются два диапазона +1 и +2 - две полуоктавы, если рассматривать численное выражение частоты). М. Марутаев обобщил понятие числовой симметрии в формуле для её центра: х = т" -1/х.

В случае m = 1, X = 1 (гармоническая симметрия) — обратные числа типа х и 1/х;

в случае m = 2 — качественная симметрия 2П. Единственно возможным случаем числовой симметрии, кроме этих двух, является цифровая симметрия, основанная на преобразовании 10". Цифровая симметрия связана, с одной стороны, с пропорцией золотого сечения (основанной на иррациональном числе корень из 5), а с другой — с качественной симметрией и принципом дихотомии. Кроме того, М. Марутаев показал связь фундаментальной физической константы 137 с числом 10 и законами гармонии, что позволяет сделать вывод о неслучайном выборе десятичной системы счисления.