«Фракталы — геометрические фигуры, каждая часть которых обладает такой же сложностью, как целое». Иными словами, сколько бы мы ни дробили фрактал, мы никогда не придем к простейшему элементу, «кирпичику». В математике фрактальные множества открыты довольно давно, однако стали широко использоваться с появлением мощных компьютеров. Начало этого этапа в изучении фракталов связывают с именем французского математика Мандельброта, интерес к фракталам связан с тем, что многие объекты живой и неживой природы имеют фрактальную структуру. Например, береговая линия, поверхность гор, облака, сосудистая система человека, поверхность головного мозга и т.д.

Кроме того, фрактальные множества очень красивы и гармоничны, приковывают внимание и завораживают. Возникли целые направления живописи, связанные с использованием фрактальных узоров.

Кажущаяся парадоксальность ситуации заключается в том, что хаос порождается вполне определенными правилами, не содержащими никаких элементов случайности. Более того, подобные простейшие уравнения, решаемые численными методами на ЭВМ, могут порождать необычайно сложные геометрические формы, так называемые самоподобные структуры, фракталы, проявляющие по мере увеличения все большее число деталей.

Простейшие фракталы, так называемые самоподобные множества, были известны в математике довольно давно. Они образовались бесконечным повторением одного и того же геометрического орнамента во все более и более мелких масштабах. Однако существуют гораздо более интересные фрактальные множества, обладающие невероятно сложной информационной организацией. Их исследование стало возможно лишь в сравнительно недавнее время с появлением мощных компьютеров. Парадоксальным является то, что правила порождения подобных фракталов удивительно просты.

Так, например, один из классических фракталов — множество Мандельброта — строится как геометрическое изображение областей притяжения неподвижных точек простейшего отображения.

В результате работы этого элементарного алгоритма получают фигуру, поражающую невероятным разнообразием и сложностью геометрических форм. При этом форм, обладающих удивительной гармонией и симметрией. Как много разнообразных геометрических форм можно извлечь из фрактала, легко представить хотя бы из того, что после десяти последовательных увеличений, каждое из которых «растягивает» исходный элемент в 25 раз, на экране компьютера мы видим часть гигантского множества Мандельброта размером с орбиту Юпитера. И с помощью обычного компьютера типа PC мы можем в принципе увидеть любую точку этой гигантской поверхности.

О сложности подобных фракталов говорит хотя бы то, что до сих пор никто не сумел рассчитать размерность того же множества Мандельброта. А для простых самоподобных фрактальных множеств такой расчет не требует никаких усилий и выполняется с помощью простейших алгебраических операций.

Возникает, естественно, вопрос: что порождает хаос в подобных, казалось бы, совершенно детерминированных системах, откуда берутся громадные информационные массивы, заведомо не содержащиеся в простейшем отображении и в то же время проявляющихся в порождаемых им самоподобных геометрических структурах?